Nama Mata Kuliah | : | Matematika Diskrit | Nama Dosen Pengampu | : | Dr. Suparman |
: | suparman@netcourrier.com | HP | : | 08174119403 |
Judul Pokok Bahasan | : | 3. Logika Matematika
3.1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial 3.2. Argumen |
Tujuan Pembelajaran | : | a) Mengerti apa yang dimaksud dengan fungsi proposisi.
b) Mengerti apa yang dimaksud dengan kuantor universal dan
mengetahui definisi untuk menetapkan nilai kebenaran untuk pernyataan
kuantor universal. c) Mengerti apa yang dimaksud dengan kuantor eksistensial dan mengetahui definisi untuk menetapkan nilai kebenaran untuk pernyataan kuantor eksistensial. d) Dapat mengubah pernyataan kuantor universal ke dalam pernyataan kuantor eksistensial dan sebaliknya. e) Dapat menuliskan negasi dari pernyataan kuantor universal dan kuantor eksistensial. f) Mengerti perbedaan antara argumen valid dan invalid. |
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.
Misalkan P(n) adalah pernyataan
: adalah bilangan ganjil
dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Sebagai contoh, jika n = 1, kita peroleh proposisi
1 adalah bilangan ganjil
bernilai benar. Jika n = 2, kita peroleh proposisi
2 adalah bilangan ganjil
bernilai salah.
3.1 Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
Definisi 3.1 : Kuantor Universal
Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan ntuk setiap x, P(x) dikatakan pernyataan kuantor universal. Pernyataan itu dapat dinyatakan dengan simbol sebagai di mana simbol berarti “untuk setiap”. Simbol disebut kuantor universal. |
Catatan :
Cara lain untuk menuliskan untuk setiap x, P(x) adalah untuk semua x, P(x) dan untuk sembarang x, P(x).
Contoh 3.1 :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a. Untuk setiap x,
b. Untuk semua x, jika x>1 maka x2>1
Penyelesaian :
a.
b.
Contoh 3.2 :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a. Untuk setiap x,
b. Untuk semua x, x2-1>0
Penyelesaian :
a. Pernyataan tersebut benar karena untuk setiap bilangan real x, adalah benar bahwa kuadrat x bernilai positif atau benar.
b. Pernyataan tersebut salah karena jika x = 1 maka proposisi 12-1 >0 salah.
Definisi 3.2 : Kuantor Eksistensial
Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan ntuk beberapa x, P(x) dikatakan pernyataan kuantor eksistensial. Pernyataan itu dapat dinyatakan dengan simbol sebagai di mana simbol berarti “untuk beberapa”. Simbol disebut kuantor eksistensial. |
Catatan :
Cara lain untuk menuliskan untuk beberapa x, P(x) adalah untuk paling sedikit satu x, P(x) dan terdapat x yang sedemikian, sehingga P(x).
Contoh 3.3 :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a. Untuk beberapa x, .
b. Untuk paling sedikit satu x, jika x>1 maka x2>1.
c. Untuk setiap x, untuk beberapa y, x2<y+1.
Penyelesaian :
a.
b.
c.
Contoh 3.4 :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a. Untuk beberapa x, x+1 > 0
b. Untuk paling sedikit satu x, x2<0
Penyelesaian :
a. Pernyataan tersebut benar karena jika x = 2 maka proposisi 2+1 >0 benar.
b. Pernyataan tersebut salah karena untuk setiap bilangan real x, adalah salah bahwa kuadrat x bernilai negatif.
Teorema 3.1 : Memperumum Hukum De Morgan untuk Logika
Jika P sebuah fungsi proposisi, setiap pasangan pada a) dan b) berikut mempunyai nilai kebenaran yang sama. a) b) |
Contoh 3.5 :
Tuliskan negasi dari masing-masing proposisi yang diberikan.
a. Untuk setiap x, x2>x
b. Untuk beberapa x, x2>x
Penyelesaian :
a. Untuk beberapa x, tidak benar bahwa x2>x.
b. Untuk setiap x, tidak benar bahwa x2>x.
Latihan Soal
3.1 | Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a. Untuk setiap y, y2>1 b. Untuk beberapa x, x2>4 c. Untuk setiap x, untuk setiap y, x2<y+1 d. Untuk beberapa x, untuk beberapa y, x2<y+1 e. Untuk setiap x, untuk setiap y, x2+y2 = 4 f. Untuk beberapa x, untuk beberapa y, x2+y2 = 4 |
3.2 | Tulislah negasi dari masing-masing proposisi pada Soal 3.1. |
3.3 | Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi “x
adalah bilangan rasional” dan misalkan Q(x) adalah fungsi proposisi “x
adalah bilangan positif”. Daerah asal pembicaraan adalah himpunan
bilangan real. Nyatakan pernyataan
dengan kata-kata. |
3.2 Argumen
Sebuah argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai
Proposisi p1, p2, p3, …, pn disebut hipotesis (atau premis) dan proposisi q disebut konklusi. Argumen di atas dikatakan valid jika konklusi mengikuti hipotesis, yakni, jika p1, p2, p3, …., dan pn adalah benar, maka p juga pasti benar. Kebalikannya kita sebut argumen invalid. Suatu argumen adalah valid karena bentuknya bukan karena isinya.
Contoh 3.6 :
Tentukanlah apakah argumen
valid.
Penyelesaian :
Kita bentuk tabel kebenaran untuk semua proposisi yang terlibat.
|
|||||||||||||||||||||||||
Tabel 3.1 |
Contoh 3.7 :
Nyatakan apakah argumen
Jika 2 = 3, maka saya lulus matematika diskrit
Saya lulus matematika diskrtit
valid.
Penyelesaian :
Jika kita misalkan p : 2 = 3 dan q : saya lulus matematika diskrtit maka argument tersebut bias dituliskan sebagai
Karena p salah maka andaikan dan q benar tidak mungkin p benar. Jadi argumen tersebut tidak valid.
Latihan Soal
3.4 | Misalkan
|
|||||||||||||
3.5 | Nyatakan apakah setiap argumen yang diberikan adalah valid
|
Daftar Pustaka
R. Johnsonbaugh, Matematika Diskrit Jilid 1, Prenhallindo, 1998.
source : http://www.ilmu.peutuah.com
SILAHKAN COPY JIKA ARTIKEL INI MENARIK NAMUN HARAP CANTUMKAN SUMBERNYA