Kuantor
Definisi
: Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta
pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).
Perhatikan dua pernyataan berikut:
1.
Semua planet dalam
sistem tata surya mengelilingi matahari.
2.
Ada ikan di laut yang
menyusui.
Pernyataan yang
mengandung kata semua atau setiap seperti pada pernyataan (1) disebut
pernyataan berkuantor universal (kuantor umum). Ungkapan untuk semua atau untuk
setiap, disebut kuantor universal atau kuantor umum. Sedangkan pernyataan yang
mengandung kata ada atau beberapa seperti pada pernyataan (2) disebut
pernyataan berkuantor eksistensial (kuantor khusus). Ungkapan beberapa atau ada
disebut kuantor eksistensial atau kuantor khusus.
Kuantor Universal
Simbol " yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut
kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposi si pada suatu himpunan A
(himpunan A x"adalah semesta pembicaraannya) maka ( Î A) p(x) atau x, p(x)" atau x p(x) adalah
suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk" setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan “Untuk semua
x, berlaku p(x)”.
Contoh :
1. p(x) = x tidak kekal p(manusia) =
Manusia tidak kekal ,maka x, p(x) =" x" Î
{manusia}, p(x) = semua manusia tidak kekal (Benar). Perhatikan bahwa p(x)
merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi x p(x) merupakan" pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak
kedua-duanya).
2.
x r(x) =" x (x + 3" > 1) pada A = {bilangan asli} bernilai benar.
3.
x q(x) =" x (x + 3" < 1) pada A = {bilangan asli} bernilai salah.
Lambang ∀ (dibaca: untuk semua atau untuk setiap) adalah
lambang kuantor universal. Notasi ∀x, p(x) (dibaca: untuk setiap x, berlaku p(x))
merupakan notasi dari pernyataan berkuantor.
Kuantor Eksistensial
Simbol $ dibaca “ada” atau
“untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika
p(x) adalah fungsi pernyataan pada x$himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta
pembicaraan) maka ( Î A) p(x) atau x! p(x)
atau$
x p(x) adalah suatu pernyataan yang$ dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan
pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol ! Untuk$ menyatakan “Ada hanya satu”.
Contoh :
1. p(x) = x adalah wanita p(perwira
ABRI) = Perwira ABRI adalah wanita x
p(x) =$
x! p(x) =$ x$ Î
{perwira ABRI}, p(x) = ada perwira ABRI adalah wanita (Benar)
2.
x p(x) =$ x (x + 1$ < 5) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu
bernilai salah.
3.
x r(x) =$ x (3 + x$ > 1) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu
bernilai salah.
Notasi ∃x, p(x) (dibaca: Ada paling sedikit satu x,
sedemikian sehingga berlaku p(x)) merupakan notasi dari pernyataan
eksistensial.
Negasi Pernyataan Berkuantor
Bayangkan Anda sedang berada di pinggir kolam yang tenang, banyak binatang
berada di sekitar Anda. Ada tupai meloncat, serangga berbunyi, dan burung
beterbangan. Lalu perhatian Anda tertuju ke sekelompok angsa. Dalam benak Anda
terpikir, "semua angsa berwarna putih". Pernyataan Anda bisa
disangkal kalau ternyata ada satu saja angsa yang tidak berwarna putih. Ketika
ternyata ada satu saja angsa yang tidak berwarna putih, pernyataan Anda
mengenai "semua angsa berwarna putih" akan disangkal dengan "ada
angsa yang tidak berwarna putih". Dan itulah contoh negasi dari sebuah
pernyataan berkuantor.
Negasi dari pernyataan kuantor universal:
~[∀x, p(x)] ≡ ∃x, ~p(x)
Contoh:
Negasi dari pernyataan
"Semua planet dalam sistem tata surya mengelilingi matahari."
adalah "Ada planet dalam sistem tata surya yang tidak mengelilingi
matahari."
Negasi dari pernyataan kuantor eksistensial:
~[∃x, p(x)] ≡ ∀x, ~p(x)
Contoh:
Negasi dari pernyataan:
"Ada ikan di laut yang menyusui."
adalah "Semua ikan di laut menyusui."
Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel
Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, .
. ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2
x A3 x . . . x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang
mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak
keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x
An.
Contoh :
1. Diketahui P = {pria}, W =
{wanita}. “x menikah dengan y” º
M(x,y) adalah fungsi pernyataan pada P x W.
2. Diketahu A = {bilangan asli}. “2x
– y – 5z < 10” º
K(x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.
Suatu fungsi pernyataan yang bagian
depannya dibubuhi dengan kuantor untuk setiap variabelnya, seperti contoh
berikut ini :
x" y p(x,y) atau$ x$ y$ z p(x,y,z)" merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.
Contoh :
1. P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W
= {Rita, Farida}, serta p(x,y) = x adalah kakak y. Maka x" Î
P, y$ Î
W, p(x,y) dibaca “Untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah
kakak y” berarrti bahwa setiap anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida.
Jika pernyataan itu ditulis sebagai y$ Î
W x" Î
P p(x,y) dibaca “Ada y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x adalah
kakak y” berarti bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak
semua anggota P.
http://matemakita.com/17/pernyataan-berkuantor/ dan Berbagai sumber
…Semoga Bermanfaat…
!.Semoga Sukses.!
.send komentar ya.
