Pembahasan Matematika Diskrit

Nama Mata Kuliah	:	Matematika Diskrit	Nama Dosen Pengampu	:	Dr. Suparman
E-mail	:	suparman@netcourrier.com	HP	:	08174119403

Judul Pokok Bahasan	:	3. Logika Matematika 3.1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial 3.2. Argumen
Tujuan Pembelajaran	:	a) Mengerti apa yang dimaksud dengan fungsi proposisi. b) Mengerti apa yang dimaksud dengan kuantor universal dan mengetahui definisi untuk menetapkan nilai kebenaran untuk pernyataan kuantor universal. c) Mengerti apa yang dimaksud dengan kuantor eksistensial dan mengetahui definisi untuk menetapkan nilai kebenaran untuk pernyataan kuantor eksistensial. d) Dapat mengubah pernyataan kuantor universal ke dalam pernyataan kuantor eksistensial dan sebaliknya. e) Dapat menuliskan negasi dari pernyataan kuantor universal dan kuantor eksistensial. f) Mengerti perbedaan antara argumen valid dan invalid.

3. Logika Matematika
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.
Misalkan P(n) adalah pernyataan
: adalah bilangan ganjil
dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Sebagai contoh, jika n = 1, kita peroleh proposisi
1 adalah bilangan ganjil
bernilai benar. Jika n = 2, kita peroleh proposisi
2 adalah bilangan ganjil
bernilai salah.

3.1 Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Definisi 3.1 : Kuantor Universal Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan
ntuk setiap x, P(x)
dikatakan pernyataan kuantor universal. Pernyataan itu dapat dinyatakan dengan simbol sebagai

di mana simbol berarti “untuk setiap”. Simbol disebut kuantor universal.

Pernyataan adalah benar jika P(x) benar untuk setiap x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x) salah untuk sedikitnya satu x di D. Sebuah nilai x di D yang membuat P(x) salah disebut contoh penentang (counter exemple) bagi pernyataan .
Catatan :
Cara lain untuk menuliskan untuk setiap x, P(x) adalah untuk semua x, P(x) dan untuk sembarang x, P(x).
Contoh 3.1 :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a.       Untuk setiap x,
b.      Untuk semua x, jika x>1 maka x²>1
Penyelesaian :
a.
b.
Contoh 3.2 :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a.       Untuk setiap x,
b.      Untuk semua x, x²-1>0
Penyelesaian :
a.       Pernyataan tersebut benar karena untuk setiap bilangan real x, adalah benar bahwa kuadrat x bernilai positif atau benar.
b.      Pernyataan tersebut salah karena jika x = 1 maka proposisi 1²-1 >0 salah.

Definisi 3.2 : Kuantor Eksistensial Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan
ntuk beberapa x, P(x)
dikatakan pernyataan kuantor eksistensial. Pernyataan itu dapat dinyatakan dengan simbol sebagai

di mana simbol berarti “untuk beberapa”. Simbol disebut kuantor eksistensial.

Pernyataan adalah benar jika P(x) benar untuk sedikitnya satu x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x) salah untuk setiap x di D.

Catatan :
Cara lain untuk menuliskan untuk beberapa x, P(x) adalah untuk paling sedikit satu x, P(x) dan terdapat x yang sedemikian, sehingga P(x).
Contoh 3.3 :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a.       Untuk beberapa x, .
b.      Untuk paling sedikit satu x, jika x>1 maka x²>1.
c.       Untuk setiap x, untuk beberapa y, x²<y+1.

Penyelesaian :
a.
b.
c.

Contoh 3.4 :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a.       Untuk beberapa x, x+1 > 0
b.      Untuk paling sedikit satu x, x²<0
Penyelesaian :
a.       Pernyataan tersebut benar karena jika x = 2 maka proposisi 2+1 >0 benar.
b.      Pernyataan tersebut salah karena untuk setiap bilangan real x, adalah salah bahwa kuadrat x bernilai negatif.

Teorema 3.1 : Memperumum Hukum De Morgan untuk Logika Jika P sebuah fungsi proposisi, setiap pasangan pada a) dan b) berikut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
a)
b)

Contoh 3.5 :
Tuliskan negasi dari masing-masing proposisi yang diberikan.
a.       Untuk setiap x, x²>x
b.      Untuk beberapa x, x²>x
Penyelesaian :
a.       Untuk beberapa x, tidak benar bahwa x²>x.
b.      Untuk setiap x, tidak benar bahwa x²>x.

Latihan Soal

3.1	Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real. a. Untuk setiap y, y²>1 b. Untuk beberapa x, x²>4 c. Untuk setiap x, untuk setiap y, x²<y+1 d. Untuk beberapa x, untuk beberapa y, x²<y+1 e. Untuk setiap x, untuk setiap y, x²+y² = 4 f. Untuk beberapa x, untuk beberapa y, x²+y² = 4
3.2	Tulislah negasi dari masing-masing proposisi pada Soal 3.1.
3.3	Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi “x adalah bilangan rasional” dan misalkan Q(x) adalah fungsi proposisi “x adalah bilangan positif”. Daerah asal pembicaraan adalah himpunan bilangan real. Nyatakan pernyataan dengan kata-kata.

3.2 Argumen
Sebuah argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai
Proposisi p₁, p₂, p₃, …, p_n disebut hipotesis (atau premis) dan proposisi q disebut konklusi. Argumen di atas dikatakan valid jika konklusi mengikuti hipotesis, yakni, jika p₁, p₂, p₃, …., dan p_n adalah benar, maka p juga pasti benar. Kebalikannya kita sebut argumen invalid. Suatu argumen adalah valid karena bentuknya bukan karena isinya.

Contoh 3.6 :
Tentukanlah apakah argumen

valid.

Penyelesaian :
Kita bentuk tabel kebenaran untuk semua proposisi yang terlibat.


B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	S	S

Tabel 3.1

Kita mengamati apabila hipotesis dan p adalah benar, maka konklusi q juga benar, sehingga argumen tersebut valid.

Contoh 3.7 :
Nyatakan apakah argumen
Jika 2 = 3, maka saya lulus matematika diskrit
Saya lulus matematika diskrtit

valid.

Penyelesaian :
Jika kita misalkan p : 2 = 3 dan q : saya lulus matematika diskrtit maka argument tersebut bias dituliskan sebagai

Karena p salah maka andaikan dan q benar tidak mungkin p benar. Jadi argumen tersebut tidak valid.

Latihan Soal

3.4

Misalkan

		Saya rajin belajar
		Saya mendapat nilai A
		Saya menjadi kaya

Rumuskan argument yang diberikan dengan simbol dan nyatakan apakah masing-masing argumen tersebut valid.

a.	Jika saya rajin belajar, maka saya mendapat nilai A Saya rajin belajar Saya mendapat nilai A.
b.	Jika saya rajin belajar atau saya menjadi kaya, maka saya mendapat nilai A Saya mendapat nilai A Saya rajin belajar

3.5

Nyatakan apakah setiap argumen yang diberikan adalah valid

a.
b.

Daftar Pustaka

R. Johnsonbaugh, Matematika Diskrit Jilid 1, Prenhallindo, 1998.

source : http://www.ilmu.peutuah.com

SILAHKAN COPY JIKA ARTIKEL INI MENARIK NAMUN HARAP CANTUMKAN SUMBERNYA