Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg :
Simpul (vertex) menyatakan daratan
Ruas (edge) menyatakan jembatan
Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?
• Perjalanan Euler adalah :
Perjalanan dari suatu simpul kembali ke simpul tersebut dengan melalui setiap
ruas tepat satu kali.
• Perjalanan Euler akan terjadi, jika :
- Graf terhubung.
- Banyaknya ruas yang datang pada setiap simpul adalah genap.
Definisi Graf
Graf G (V, E), adalah koleksi atau pasangan dua himpunan
(1) Himpunan V yang elemennya disebut simpul atau titik, atau vertex, atau
point, atau node.
(2) Himpunan E yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul, disebut ruas
atau rusuk, atau sisi, atau edge, atau line.
• Banyaknya simpul (anggota V) disebut order Graf G, sedangkan banyaknya ruas
(anggota E) disebut ukuran (size) Graf G
JENIS – JENIS GRAF
• Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf
digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (simple graf).
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana.
2. Graf tak-sederhana (unsimple-graf/multigraf).
Graf yang mengandung ruas ganda atau gelung dinamakan graf tak-sederhana
(unsimple graf atau multigrapf).
• Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat
digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf berhingga (limited graf)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, n, berhingga.
2. Graf tak-berhingga (unlimited graf)
Graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf
tak-berhingga.
• Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2
jenis:
1. Graf tak-berarah (undirected graf)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
2. Graf berarah (directed graf atau digraf)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
Subgraf
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah subgraf (subgraf)
dari G jika V1
⊆ V dan E1
⊆ E.
Komplemen dari subgraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2)
sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang
anggota-anggota E2 bersisian dengannya.
Subgraf yang Direntang (Spanning Subgraf)
Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘
adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘ (Spanning Subgraph)
Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul d(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungkan suatu
simpul.
Sedangkan Derajat Graf G adalah jumlah derajat semua simpul Graf G.
Jumlah derajat semua simpul Graf (derajat Graf) = dua kali banyaknya ruas
Graf (size/ukuran Graf).
Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.
Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang ruas e = (vj, vk) dikatakan :
e bersisian dengan simpul vj , atau
e bersisian dengan simpul vk
Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian
dengannya.
Graf Kosong (null graf atau empty graf)
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn).
OPERASI GRAF
G1 = (E1,V1) , G2 = (E2,V2)
1. Gabungan G1
∪ G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1
∪
E2.
2. Irisan G1 ∩ G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1 ∩ E2.
3. Selisih G1 – G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1 – E2.
4. Selisih G2 – G1 adalah graf dgn himpunan ruasnya E2 – E1.
5. Penjumlahan ring G1
⊕ G2 adalah graf dgn himpunan
ruasnya (E1
∪ E2) – (E1 ∩ E2) atau (E1 – E2)
∪ (E2 – E1).
DEKOMPOSISI
Suatu graf G dikatakan dikomposisikan menjadi K dan L bila G = K
∪
L dan K ∩ L =
∅
PENGHAPUSAN (DELETION)
Penghapusan dapat dilakukan pada simpul ataupun ruas.
1) Penghapusan Simpul .
Notasinya : G – {V}
2) Penghapusan Ruas .
Notasinya : G – {e}
PEMENDEKKAN (SHORTING)
Pemendekan/Shorting adalah menghapus simpul yang dihubungkan oleh 2 ruas
(simpul berderajat 2), lalu menghubungkan titik-titik ujung yang lain dari
kedua ruas tersebut.
KETERHUBUNGAN
•
Perjalanan (Walk)
Perjalanan atau walk pada suatu Graf G adalah barisan simpul dan ruas
berganti-ganti
v1, e1, v2, e2, …,en-1, vn ruas ei menghubungkan vi dan vi+1
dapat hanya ditulis barisan ruas atau barisan simpul saja.
e1, e2, …,en-1 atau v1, v2, …, vn-1, vn
Dalam hal ini, v1 disebut simpul awal, dan vn disebut simpul akhir.
Perjalanan disebut perjalanan tertutup bila v1 = vn, sedangkan Perjalanan
disebut perjalanan tebuka yang menghubungkan v1 dan vn. Panjang Perjalanan
adalah banyaknya ruas dalam barisan tersebut.
•
Lintasan (Trail)
Lintasan adalah Walk dengan semua ruas dalam barisan adalah berbeda.
•
Jalur (Path)
Jalur adalah Walk yang semua simpul dalam barisan adalah berbeda.
•
Sirkuit (Cycle)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau
siklus. Panjang sirkuit adalah jumlah ruas dalam sirkuit tersebut.
Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap simpul dari graf terdapat
jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
Subgraf terhubung suatu graf disebut komponen dari G bila subgraf tersebut
tidak terkandung dalam subgraf terhubung lain yang lebih besar
Rank (G) = n – K
Nullity (G) = e – (n – k)
Dimana :
n : Order graf G
e : Size graf G
K : banyaknya komponen graf G
Jarak antara 2 simpul dalam graf G adalah panjang jalur terpendek antara ke 2
simpul tersebut.
Diameter suatu graf terhubung G adalah maksimum jarak antara simpul G.
GRAF BERLABEL
Graf berlabel/ berbobot adalah graf yang setiap ruasnya mempunyai nilai/bobot
berupa bilangan non negatif
ISOMORFISMA
Dua buah graf atau lebih yang mempunyai jumlah ruas, simpul, dan derajat yang
sama.
HOMOMORFISMA
Dua buah graf aau lebih yang penggambarannya sama, tetapi jumlah ruas dan
simpulnya berbeda.
BEBERAPA GRAF SEDERHANA KHUSUS
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Jumlah
sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n – 1)/2.
Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.
Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur.
Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf
teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.
Graf Bipartisi (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan
V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke
sebuah simpul di V2 disebut graf bipartisi dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).
Dilambangkan KMN.
Graf Platonik
Graf yang berasal dari penggambaran bangun ruang, dimana titik sudut merupakan
simpul, dan rusuk meruakan ruas
Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg :
Simpul (vertex) menyatakan daratan
Ruas (edge) menyatakan jembatan
Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?
• Perjalanan Euler adalah :
Perjalanan dari suatu simpul kembali ke simpul tersebut dengan melalui setiap
ruas tepat satu kali.
• Perjalanan Euler akan terjadi, jika :
- Graf terhubung.
- Banyaknya ruas yang datang pada setiap simpul adalah genap.
Definisi Graf
Graf G (V, E), adalah koleksi atau pasangan dua himpunan
(1) Himpunan V yang elemennya disebut simpul atau titik, atau vertex, atau
point, atau node.
(2) Himpunan E yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul, disebut ruas
atau rusuk, atau sisi, atau edge, atau line.
• Banyaknya simpul (anggota V) disebut order Graf G, sedangkan banyaknya ruas
(anggota E) disebut ukuran (size) Graf G
JENIS – JENIS GRAF
• Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf
digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf sederhana (simple graf).
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana.
2. Graf tak-sederhana (unsimple-graf/multigraf).
Graf yang mengandung ruas ganda atau gelung dinamakan graf tak-sederhana
(unsimple graf atau multigrapf).
• Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat
digolongkan menjadi dua jenis:
1. Graf berhingga (limited graf)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, n, berhingga.
2. Graf tak-berhingga (unlimited graf)
Graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf
tak-berhingga.
• Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2
jenis:
1. Graf tak-berarah (undirected graf)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.
2. Graf berarah (directed graf atau digraf)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.
Subgraf
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah subgraf (subgraf)
dari G jika V1
⊆ V dan E1
⊆ E.
Komplemen dari subgraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2)
sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang
anggota-anggota E2 bersisian dengannya.
Subgraf yang Direntang (Spanning Subgraf)
Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘
adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘ (Spanning Subgraph)
Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul d(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungkan suatu
simpul.
Sedangkan Derajat Graf G adalah jumlah derajat semua simpul Graf G.
Jumlah derajat semua simpul Graf (derajat Graf) = dua kali banyaknya ruas
Graf (size/ukuran Graf).
Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.
Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang ruas e = (vj, vk) dikatakan :
e bersisian dengan simpul vj , atau
e bersisian dengan simpul vk
Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian
dengannya.
Graf Kosong (null graf atau empty graf)
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn).
OPERASI GRAF
G1 = (E1,V1) , G2 = (E2,V2)
1. Gabungan G1
∪ G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1
∪
E2.
2. Irisan G1 ∩ G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1 ∩ E2.
3. Selisih G1 – G2 adalah graf dgn himpunan ruasnya E1 – E2.
4. Selisih G2 – G1 adalah graf dgn himpunan ruasnya E2 – E1.
5. Penjumlahan ring G1
⊕ G2 adalah graf dgn himpunan
ruasnya (E1
∪ E2) – (E1 ∩ E2) atau (E1 – E2)
∪ (E2 – E1).
DEKOMPOSISI
Suatu graf G dikatakan dikomposisikan menjadi K dan L bila G = K
∪
L dan K ∩ L =
∅
PENGHAPUSAN (DELETION)
Penghapusan dapat dilakukan pada simpul ataupun ruas.
1) Penghapusan Simpul .
Notasinya : G – {V}
2) Penghapusan Ruas .
Notasinya : G – {e}
PEMENDEKKAN (SHORTING)
Pemendekan/Shorting adalah menghapus simpul yang dihubungkan oleh 2 ruas
(simpul berderajat 2), lalu menghubungkan titik-titik ujung yang lain dari
kedua ruas tersebut.
KETERHUBUNGAN
•
Perjalanan (Walk)
Perjalanan atau walk pada suatu Graf G adalah barisan simpul dan ruas
berganti-ganti
v1, e1, v2, e2, …,en-1, vn ruas ei menghubungkan vi dan vi+1
dapat hanya ditulis barisan ruas atau barisan simpul saja.
e1, e2, …,en-1 atau v1, v2, …, vn-1, vn
Dalam hal ini, v1 disebut simpul awal, dan vn disebut simpul akhir.
Perjalanan disebut perjalanan tertutup bila v1 = vn, sedangkan Perjalanan
disebut perjalanan tebuka yang menghubungkan v1 dan vn. Panjang Perjalanan
adalah banyaknya ruas dalam barisan tersebut.
•
Lintasan (Trail)
Lintasan adalah Walk dengan semua ruas dalam barisan adalah berbeda.
•
Jalur (Path)
Jalur adalah Walk yang semua simpul dalam barisan adalah berbeda.
•
Sirkuit (Cycle)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau
siklus. Panjang sirkuit adalah jumlah ruas dalam sirkuit tersebut.
Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap simpul dari graf terdapat
jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
Subgraf terhubung suatu graf disebut komponen dari G bila subgraf tersebut
tidak terkandung dalam subgraf terhubung lain yang lebih besar
Rank (G) = n – K
Nullity (G) = e – (n – k)
Dimana :
n : Order graf G
e : Size graf G
K : banyaknya komponen graf G
Jarak antara 2 simpul dalam graf G adalah panjang jalur terpendek antara ke 2
simpul tersebut.
Diameter suatu graf terhubung G adalah maksimum jarak antara simpul G.
GRAF BERLABEL
Graf berlabel/ berbobot adalah graf yang setiap ruasnya mempunyai nilai/bobot
berupa bilangan non negatif
ISOMORFISMA
Dua buah graf atau lebih yang mempunyai jumlah ruas, simpul, dan derajat yang
sama.
HOMOMORFISMA
Dua buah graf aau lebih yang penggambarannya sama, tetapi jumlah ruas dan
simpulnya berbeda.
BEBERAPA GRAF SEDERHANA KHUSUS
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn.
Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n –
1)/2.
Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.
Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur.
Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf
teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.
Graf Bipartisi (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan
V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke
sebuah simpul di V2 disebut graf bipartisi dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).
Dilambangkan KMN.
Graf Platonik
Graf yang berasal dari penggambaran bangun ruang, dimana titik sudut merupakan
simpul, dan rusuk meruakan ruas
Berbagai Sumber
SILAHKAN COPY JIKA ARTIKEL INI MENARIK NAMUN HARAP CANTUMKAN SUMBERNYA
