tentang kuantor universal

Share

Kuantor jenis ini mempunyai lambang dan dibaca “untuk setiap” atau “untuk semua”.
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, pernyataan x . p(x) dibaca “untuk setiap x berlaku
p(x)” atau “untuk semua x berlaku p(x)”. Berikut ini adalah beberapa contoh pernyataan berkuantor
universal:
1.
‘Semua
artis adalah cantik.’ Pernyataan berkuantor universal ini menggambarkan adanya
dua himpunan, yaitu himpunan artis dan himpunan orang cantik. Di samping itu, pernyataan tadi
menjelaskan tentang semua artis namun tidak menjelaskan tentang semua orang cantik.
Pernyataaan itu menjelaskan bahwa setiap anggota himpunan artis adalah merupakan anggota
himpunan orang cantik, namun perny ataan itu tidak menjelaskan bahwa setiap anggota
himpunan orang cantik adalah merupakan anggota himpunan artis. Hal terpenting yang pada
akhirny a didapat adalah, pernyataan berkuantor: “
Semua
artis adalah orang cantik,”
menunjukkan bahwa himpunan artis termuat atau menjadi himpunan bagian dari himpunan
orang cantik.
Pernyataan “
Semua
artis adalah cantik,” ini akan bernilai benar jika telah ditentukan kriteria artis
dan kriteria cantik serta dapat ditunjukkan bahwa setiap artis yang merupakan anggota himpunan
artis adalah cantik. Namun pernyataan berkuantor universal tadi akan bernilai salah jika dapat
ditunjukkan adanya satu atau beberapa orang y ang dapat dikategorikan sebagai artis namun ia
tidak termasuk pada kriteria cantik. Contoh yang menunjukkan salahnya suatu pernyataan
berkuantor universal ini disebut dengan
counterexample
atau contoh sangkalan sebagaimana
15

dinyatakan Clemens, O’daffer, dan Cooney (1984: 49) berikut: “
A counterexample is a single
example that shows a generalization to be false
”
2. Jika p(x) adalah “x + 4 > 1” dengan x adalah peubah pada himpunan bilangan bulat B
maka ( × B) p(x) adalah ( × B) x + 4 > 1 dan dibaca: “Untuk setiap bilangan bulat x
berlaku x + 4 > 1.” Pernyataan ini bernilai salah, karena jika x-nya diganti dengan bilangan
bulat –5 misalny a akan didapat pernyataan –5 + 4 > 1 yang bernilai salah.
3. Jika q(n) berarti: 2
– 1 adalah bilangan prima untuk n bilangan bulat, maka
n
( n B) q(n) berarti: ( n B) 2
– 1 adalah bilangan prima, dan dibaca:
n
“Untuk setiap bilangan bulat n berlaku 2
– 1 adalah bilangan prima”.
n
Pernyataan ini bernilai salah. Mengapa salah?
4. ( x R) x
= x, bernilai salah juga. Mengapa?
2
Jika pernyataan berkuantor universal, seperti
“Semua
artis adalah cantik” bernilai benar
maka pernyataan itu dapat ditunjukkan dengan Diagram Venn berikut, John Venn (1834 – 1923)
adalah seorang matematikawan Inggris yang menerbitkan buku tentang Logika Simbolik (
Symbolic
Logic
) pada tahun 1881. Sebagaimana dijelaskan di bagian depan, himpunan artis A harus termuat
atau menjadi himpunan bagian dari himpunan manusia cantik C; atau A C. Paling tidak, A dan C
bisa saja sama atau A = C; dengan M = {semua manusia}, A = {artis}, dan C = {cantik}.
Berdasarkan Diagram Venn di atas, para siswa diharapkan
M
dapat meny impulkan bahwa suatu pernyataan berkuantor universal
dapat diubah menjadi suatu implikasi. Pada contoh di atas,
A C
pernyataan berkuantor universal: “Semua artis adalah cantik.” adalah
ekivalen dengan implikasi “Jika x adalah artis maka x adalah
cantik.”.
Sebagaimana dinyatakan di bagian depan, pernyataan berkuantor dengan kata awal “Tidak
ada… .” dapat diubah ke bentuk pernyataan berkuantor universal. Contohnya, jika pernyataan
berkuantor “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan jelek,” bernilai benar, maka
pernyataan tersebut dapat digambarkan dengan Diagram Venn berikut:
M
J
M = {semua manusia}
U
U = {murid SMU}
J = {manusia yang senang mendapat nilai jelek}.
Dengan demikian, jika pernyataan “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan jelek,”
bernilai benar dan jika digambarkan dengan Diagram Venn, pernyataan itu akan meny ebabkan U J
= . Alasanny a, tidak ada satupun siswa SMU yang senang mendapat nilai jelek, sehingga kedua
himpunan tersebut akan saling asing. Karenany a, pernyataan “Tiada murid SMU yang senang
mendapat nilai ulangan jelek,” itu adalah sama dengan pernyataan berkuantor universal: “Semua
murid SMU tidak senang mendapat nilai ulangan jelek.”

Berbagai sumber

…Semoga Bermanfaat… !.Semoga Sukses.! .send komentar ya.

Artikel terkait: