tentang LOGIKA PREDIKAT, PROPOSISI, & ALJABAR BOLEAN

Share

Definisi 1.1.1: (Proposisi)
Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S)
CONTOH 1.1.1 : Beberapa contoh proposisi dan bukan proposisi:

1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.
2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.
3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.
4. Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tennes.
5. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.
6. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.
7. Berolahragalah secara teratur!

Kalimat deklaratif pertama, kedua dan ketiga dalam contoh 1.1.1 tidak memuat penghubung disebut proposisi primitip(primitif ), dan dilambangkan dengan huruf kecil: p, q, r, s. Kalimat deklaratif keempat dan kelima memuat penghubung ”atau” dan ”jika…maka…” disebut proposisi majemuk(composite). Kalimat keenam dan ketujuh bukan proposisi.
Penghubung atau konektif(connective)
Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu:

1. Negasi(Negation)
2. Konjungsi(Conjunction)
3. Disjungsi(Disjunction)
4. Implikasi(Implication)
5. Ekuivalensi(Equivalence)

Definisi 1.1.2: (Penghubung)
Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Negasi:
Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B / S, maka negasinya ditulis sebagai,      , memiliki nilai kebenaran lawannya, S / B.

2. Konjungsi:
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, p q, adalah sebuah proposisi yang bernilaibenar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.

3. Disjungsi:
Disjungsi p dan q dinyatakan dengan,  p     q, adalah proposisi yang bernilai salah jika proposisi p dan q keduanya bernilai salah.

4. Implikasi (proposisi bersyarat):
Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p q, ialah proposisi yang bernilai salah jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut konsekuen(konklusi/kesimpulan)


5. Ekuivalensi/Biimplikasi:
Ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan, p q, adalah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q mempunyai nilai kebenaran sama.

Tabel kebenaran (Truth table)
Untuk mengevaluasi apakah sebuah proposisi majemuk benar atau salah kita perlu tabel kebenaran dari konektif yang ada dalam proposisi tersebut. Untuk sembarang proposisi p dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua konektif dapat dilihat pada Tabel 1.1.1.
Logika proposisi tidak bisa menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:

p : n adalah bilangan ganjil.
Pernyataan p bukan sebuah proposisi karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka kita harus mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.


Definisi 1.1.3: (Fungsi proposisi/Predikat)
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.
Sebuah predikat seringkali menyatakan sebuah hubungan relasional antara: konstanta, variabel dan fungsi.  Simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat:

1. Simbol konstanta : a, b, c, d.
2. Simbol variabel : x, y, z, w.
3. Simbol fungsi : f, g, h.
4. Simbol predikat : P, Q, R, S.
Definisi 1.1.4: (Kuantor)
Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.

1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbolik ditulis sbb:
x; P(x)
Simbol ” ” disebut kuantor universal.
2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis sbb:
x; P(x)
Simbol ” ” disebut kuantor eksistensial.
Definisi 1.1.5: (Ekuivalensi)
Dua proposisi yang memuat n variabel dikatakan ekivalen, jika untuk setiap pemberian nilai kebenaran terhadap setiap variabel dari kedua proposisi tersebut, maka keduanya mempunyai nilai kebenaran sama.
Skema ekuivalensi
Untuk memudahkan mengevaluasi sebuah proposisi yang dinyatakan dalam bentuk formula, maka diberikan tabel skema ekuivalensi seperti terlihat pada Tabel 1.1.2.
Tabel 1.1.2: Tabel ekuivalensi

Sifat negasi/ekuivalensi kuantor:

1. Kuantor Universal:
2. Kuantor Eksistensial: 


Definisi 1.1.6: (Tautology, Contradiction and Satisfiable)
1. Tautologi:
Sebuah proposisi dikatakan bernilai Tautologi, jika proposisi tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
2. Kontradiksi:
Sebuah proposisi dikatakan bernilai Kontradiksi, jika proposisi tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
3. Satisfiabel:
Sebuah proposisi dikatakan Satisfiabel, jika bernilai benar terhadap suatu pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.
Definisi 1.1.7: (Implikasi Tautologi)
Sebuah proposisi p dikatakan berakibat propisisi q, jika implikasi ”p q” bernilai tautologi, dan ditulis   ”p      q”.
Skema Implikasi Tautologi:
Untuk memudahkan manipulasi proposisi yang memuat implikasi tautologi, maka diberikan tabel skema implikasi tautologi seperti terlihat pada Tabel 1.1.3.

• Aljabar Boolean

Misalkan terdapat
- Dua operator biner: + dan .
- Sebuah operator uner: ’.
- B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, . , dan ’
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
( B, +, . , ’ )
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈  B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure : (i) a + b ∈ B
(ii) a . b ∈ B
2. Identitas                        : (i) a + 0 = a
(ii) a . 1 = a
3. Komutatif         : (i) a + b = b + a
(ii) a . b = b . a
4. Distributif         : (i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
(ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
5. Komplemen1     : (i) a + a’ = 1
(ii) a . a’ = 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus
diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.


Ekspresi Boolean

Misalkan (B, +, . , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, . , ’) adalah:
(i)   setiap elemen di dalam B,
(ii)  setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 . e2, e1’                adalah ekspresi Boolean
Prinsip Dualitas

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, . , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
. dengan +
+ dengan .
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
Hukum-hukum Aljabar Boolean













































Penyederhanaan Fungsi Boolean
Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’
disederhanakan menjadi
f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1. Secara aljabar
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)



…Semoga Bermanfaat… !.Semoga Sukses.! .send komentar ya.

Artikel terkait: